愛德華·索普通過計牌估算概率，同時運用凱利公式計算下注比例“勝算大的時候多下注，勝算小的時候少下注”吊打拉斯維加斯的各個賭場，著名的索普公式也就是凱利公式在21點的應用。

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我們用一個簡單的例子來理解，比如當你有51%的勝算的時候，贏一局資金翻倍，那么100局里你獲勝51局，就能獲得102美元，這是你的優勢，也就是你的利潤除以你的本金，也就是2%。根據索普的規劃，如果你能確認你存在2%的優勢，那么你每局就應該下注本金的2%。用凱利公式來理解就是f* = (bp - q) / b=（1*51%-49%）/1=2%,即每局的最優下注比例為本金的2%。（下文將對凱利公式做詳細介紹）

之后愛德華索普又發明了團隊作戰的策略。團隊作戰一般是5個人，大家會通過通信工具來溝通自己桌子的情況，也就是說賠率會在5個不同的桌子上出現。這時候每一次下注，大家只需要在賠率最高的桌子上，下最大的賭注，就能將獲勝的概率最大化。很快，愛德華·索普戰勝了每一個賭場的21點桌。

1956年，科學家凱利在內部期刊發表了一篇原標題叫《信息論與賭博》的論文，提出了著名的凱利公式（公式如下）。文中凱利以賭徒視角，思考如何合理押注才能讓資產得到最大指數的增長，也就是最優下注比例的問題。

我們通過一個例子來理解：假設總賭本10,000美元，玩家取勝的概率是51%，賠率1：1，那么凱利公式給出的最佳賭注是：$10000 * (1 * 0.51 - 0.49)/ 1 = $200。通過公式可以很快速的計算出最佳下注比例，但最重要的不在于帶公式計算數字，而是要弄明白公式背后真正的含義。

公式的分子bp - q代表“贏面”，也就是數學中的“期望值”。從公式我們也可以直觀的理解，只有分子是正數，f*才能是正數，也就是說只有期望值是正的時候才可以下注，這是一切賭博和投資最基本的道理。

但值得注意的是，凱利公式應用在賭戲中有個可能會被忽略的假設，那就是虧損時押注賠光（預期負收益率L=100%）。 但資本市場的投資通常沒有這么慘，所以這個公式放在投資中應用時，需要稍做調整，調整后最佳投入比例為：f*=(pW-qL)/(W*L)，其中，f* = 投注金額占總資金的比例，p = 獲勝的概率，q = 失敗的概率，W = 正收益率；L = 負收益率。

那么如果找到找到期望值為正數的投資，為了實現長期的最大收益，我們是不是應該在每次賭博中盡量放入更多比例的本金，甚至達到100%？顯然這是不合理的，因為一旦哪一次賭博賭輸了，那么所有的本金就會全部輸光，再也不能參加下一局，只能黯然離場。而從長期來看，賭輸一次這個事件必然發生，所以說長期來看必定破產。

所以這里就得出了一個結論：只要一個賭局存在一下子把本金全部輸光的可能，哪怕這個可能非常的小，那么就永遠不能滿倉。因為長期來看，小概率事件必然發生，而且在現實生活中，小概率事件發生的實際概率要遠遠的大于它的理論概率，這就是金融學中的肥尾效應。

公式的分母b為賠率，b為正數f*才能是正數。公式里贏面還要除以“b”才是投注資金比例，也就是說贏面相同的情況下，賠率越小越可以多押注，我們還是用例子來說明更為直觀。

“小博大”：勝率20%，贏了1賠5，輸了全光。bp - q = 5*20% - 80% = 20%

“中博中”：勝率60%，1賠1，輸了全光。bp - q = 1*60% - 40% = 20%

“大博小”：勝率80%，1賠0.5，輸了全光。bp - q = 0.5*80% - 20% = 20%

三個游戲的數學期望值一樣，都是20%，如果押100元平均贏20元。但是用凱利公式中的“b”一除，算出來的最佳投資比例f*，也就是能讓資產得到最大指數增長的比例，“小博大”f* =20%/5=4%，“中博中”f* =20%/1=20%，“大博小”f* =20%/0.5=40%，“大博小”的最優下注比例是最大的，也就是在期望值為正數前提下，贏面相同的情況時，波動小的，越可以多押注。

凱利公式指出：贏面大、波動性小的游戲可以押較大賭注。那么如何量化“贏面大，波動性小”呢？1966年威廉·夏普提出了著名的指標：夏普比率，從收益期望和風險兩方面評估投資機會的優劣，也就是解決如何挑選“游戲”的問題。

夏普比率代表投資人每多承擔一單位風險，可以拿到幾單位超額報酬；若為正值，代表標的報酬率高過波動風險；若為負值，代表標的操作風險高過報酬率。它表示投資回報與多冒風險的比例，也就是夏普比率S越高，投資機會的“質量”越高。

舉個例子，假如國債的回報是3%，而標的基金投資組合預期回報是15%，標的基金投資組合的標準偏差是6%，那么用15%－3%，可以得出12%（代表標的基金超出無風險投資的回報），再用12%/6%=2，代表投資者風險每增長1%，換來的是2%的多余收益。

舉個例子：甲投資：超額回報期望10%，標準差20%，夏普比率為0.5

乙投資：超額回報期望5%，標準差5%，夏普比率為1

乍一看，甲投資回報期望高，似乎是比較好的機會。但投資不僅要考慮收益期望，更要考慮風險，通過夏普比率計算出的多冒風險可獲得的投資回報甲是0.5，而乙是1，也就意味著乙投資于甲投資相比，乙投資用1個單位的“風險”能換取更多的回報期望。

不論是賭博還是投資存在概率，事實上二者是相通的。因此，凱利公式也被巴菲特，查理芒格和比爾格羅斯引用了無數回。

首先，定增市場是千億級別的市場，并且隨著上市公司總數以及上市公司定增融資需求的增多，募集金額呈現增長趨勢，可以容納大量大資金，滿足我們對可容納資金體量的要求。

再來定增在勝率和賠率上具備優勢。我們統計了定增實行以來全市場的全部數據，得出定增舊規的勝率為57%，賠率3.01，期望值1.29；定增新規的勝率64%，賠率3.2，期望值1.67。不論是舊規還是新規勝率都高于50%，賠率都超過3倍，期望值為正數。從凱利公式的角度看，定增的勝率、賠率、期望值都無可挑剔，是一項重復下來“久賭必贏”的投資。

既然定增是一項重復下來“久賭必贏”的投資，那么是不是根據凱利公式就能賺錢嗎？不是的！凱利公式只是讓你在最小風險下，來合理分配投資比例。不僅需要期望值必須為正值，還要求單次下注的勝率和賠率必須是固定的。受到不同定增項目質地和折扣的影響，定增中的單個項目勝率和賠率（也就是收益情況）不是固定的。因此，凱利公式應用在定增市場中更加應該關注的是期望值的趨勢變化。

鑫鑫投資從2011年開始專注參與定增至今獲得了遠超市場的收益，其中定增舊規的勝率65.2%，賠率11.08，期望值6.88，總收益52.9%；定增新規的勝率56.9%，賠率3.88，期望值1.78，總收益13.9%。

作為領先的機構投資者要求我們：業績好，年化高，回撤少，也就是夏普比率理論上要挑選出的相對低風險和高回報“高性價比”投資。

嘗試從夏普比率的角度評估下我們不同的產品的“性價比”。從走勢波動上看，鑫鑫一號和鑫鑫三號由于凈值計算方式不同，因此鑫鑫一號的夏普比率相較于鑫鑫三號穩定。從數值上看，鑫鑫一號的夏普比率常年在1左右，而鑫鑫三號的夏普比率更多集中在0.5左右。

$寒武紀-U(SH688256)$$昆侖萬維(SZ300418)$$中科曙光(SH603019)$

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